边缘计算专题：（二）别看只有0和1，数学不好的勿进

传知学院

一、二进制数与信息表示

1、概述

• 二进制的由来
  

德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和牛顿同为微积分的创建人——莱布尼兹。

在数学史上，西方史学家认为他是第一个明确提出二进制数这个概念的科学家。

• 计算机设计中二进制概念的引入
  

20世纪30年代中期，数学家冯.诺依曼大胆提出采用二进制作为数字计算机的数制基础。

目前计算机内部处理信息都是用二进制表示的。

2、数值型数据

在计算机内一切信息必须进行数字化编码（即用二进制代码形式），才能在机内传送、存储和处理。

二进制整数：

二进制小数：

二进制数的特点：
▶ 只有0，1两个数码

▶ 对计算机而言，形象鲜明，易于区别，识别可靠性高

▶ 运算规则简单

▶ 具有良好的逻辑性

计算机采用二进制的原因及优点：

01、可行性

在物理实现上只需要取两种可能的极端状态来表示0或1 ：

灯 ： 亮——灭

开关：通——断

电容：充电——放电

脉冲：有——无

分别对应二进制的：1——0。

02、简易性

二进制运算方法简单，可以使电路结构设计简化。

运算规则：

0+0=0 0+1=1 1+1=10

0×0=0，0×1=1×0=0， 1×1=1

03、逻辑性

能用逻辑代数等数字逻辑技术进行信息处理：

二进制的0和1正好和逻辑代数中的“真”和“假”相对应。

04、可靠性

抗干扰能力强，可靠性高。

二进制的缺点

❌ 二进制书写冗长，不易识别，不易发现错误，对编制程序十分不利。

✔ 为了克服这一缺点，在计算机里有不少工作是在做数制等的转换，如二进制与十进制的相互转换等，以使人们阅读方便。

各进制的数制表示

二进制的16进制表示

由低到高位每4位二进制对应表示为一位16进制。

二进制的8进制表示

由低到高位每3位二进制对应表示为一位8进制。

十进制变换二进制

连续除2取余数，直到商为0。余数的逆序排列为结果的二进制序列。

例题：

计算十进制数中是否包含…128、64、32、16、8、4、2、1，包含则相应位为1，不包含则相应位为0。

二进制、十六进制、十进制变换

3、非数值型数据

ASCII码（American Standard Code for Information Interchange，美国标准信息交换码），它已被国际标准化组织（ISO）定为国际标准，称为ISO 646标准。

内容包括：

控制码：00H～1FH

数字：30H～39H

大写字母：41H～5AH

小写字母：61H～7AH

常用符号

汉字字符编码：

▶ GB2312-80全称是GB2312-80《信息交换用汉字编码字符集-基本集》，1980年发布。其扩展标准为GBK。

▶ GB12345-90《信息交换用汉字编码字符集 第一辅助集》，目的在于规范必须使用繁体字的各种场合，以及古籍整理等。

▶ BIG5是目前台湾、香港地区普遍使用的一种繁体汉字的编码标准，包括440个符号，共计13060个汉字。

▶ ISO 10646（Unicode是其工业标准名称）国际标准化组织制定的，初始的版本包含GB 3212-80、GB 12345、Big 5 以及日、韩文字汉字部分的国际标准。ISO10646从3.0版开始扩展4字节编码，字符编码空间150万个，实现中、日、韩、蒙、藏、彝、维等多文种并存。

有符号整型数

有符号整型数：二进制最高位是符号位，0=正，1=负。有原码、反码和补码三种有符号数编码方式，在计算机中通常采用补码方式表示：

8位二进制补码表示数的范围是-128 ~ +127，16二进制补码表示范围是-32768 ~ +32767。补码最主要的优点是在加、减运算时不需要判断符号位，所以CPU在进行有符号数的加、减运算时用的是补码。

原码、反码和补码的转换需要明确转换后的二进制位数。转换方法可以分别转换符号位和数值位。

无符号定点小数

带小数十进制 → 无符号二进制定点小数，整数部分连续除2取余数，逆序排列。小数部分连续乘2取整数，正序排列。

浮点数

浮点表示法

二进制浮点数

IEEE 754标准浮点数

4、算数运算

无符号整型数算数运算

补码的加、减运算法则

补码加减运算规则说明

① 参加运算的两个操作数均用补码表示；

② 按无符号二进制规则运算，符号位作为数的一部分参加运算，运算结果为补码；

③ 若做加法，则两数直接相加。若做减法，则将被减数与减数的机器负数相加。

进位和溢出

运算所得结果超过机器字长额定位数；

无符号数加/减运算——可能产生进位/借位；

有符号数加/减运算——可能产生溢出。

无符号数运算的进位/借位

8(16)位无符号数相加结果超过255(65535)，产生进位；无符号数相减，被减数小于减数，产生借位。

有符号数运算的溢出

溢出——有符号数运算结果超出CPU字长；

二进制运算溢出和进位/借位没有必然联系。

溢出的判断

- 直观判断：两个符号相同的数相加，和的符号相反——溢出；

两个符号不同的数相减，差的符号和减数相同——溢出；

- 双符号位判断法：将原符号位扩充为两位，两个符号位作为数的一部分参加运算。结果符号位为00、11则无溢出，符号位为01、10则结果溢出。

二、逻辑代数

1、基本逻辑

逻辑量——0和1

逻辑电路的信号电平只有两个稳定状态，分别代表逻辑0和1。一般采用正逻辑，即高电平为1，低电平为0。

逻辑电压

逻辑电路的电压多为5V和3V，早期的逻辑器件为5V，新型的逻辑器件多为3.3V。

基本逻辑运算——与、或、非

2、逻辑表示

逻辑电路符号：

逻辑表达式：

逻辑真值表：

三、逻辑电路

1、逻辑关系例

与逻辑关系例：

或逻辑关系例：

2、组合逻辑单元

基本逻辑：

组合逻辑单元：

逻辑运算优先级：

3、逻辑电路器件

常用组合逻辑电路器件举例：

加法器

一位半加器：

一位全加器：

多位加法器：

译码器

N个输入端，2的N次方个输出只有一个有效，该输出端的序号是N。

基本RS触发器

触发器：

——最基本时序逻辑单元

双稳态特征：具有两个稳定状态，用来表示逻辑状态的0 和1；

记忆特征：可通过不同的外部信号改变状态，输入信号消失以后，能将获得的新状态保存下来。

基本RS触发器：

基本RS触发器例

触发器例

同步RS触发器

同步时序电路——在同步时序脉冲的驱动下工作的时序电路。

同步RS触发器——只有在同步时序脉冲的上升沿改变状态。

触发器描述

描述同步时序电路的方法：根据当前记忆状态和输入状态获得的下一个时钟作用的新输出状态。

D触发器

常见的触发器除RS触发器外，还有D触发器等。D触发器是最常用的触发器。

计数器

对输入的时钟脉冲（CP）的个数进行计数的数序单元电路。具体有加1计数器、减1计数器、二进制计数器、BCD码计数器等。

8、寄存器

存储二进制数的时序电路单元，它具有接收和寄存二进制数码的逻辑功能。可以由多个D触发器构成。

移位寄存器

可以将存储的多位二进制数向高位方向或向低位方向顺序移位的时序电路单元。

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