移动通信常用地图投影简介

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移动通信常用地图投影简介
1 基本概念
1.1 地球椭球体（Ellipsoid）
1.1.1 地球的形状
先来问一个“愚蠢”的问题：地球是什么形状的？
大多数人会答：地球是圆的。自打小学时起我们就是这样被教育的，直至学了地理，知道地球不完全是圆的，而是一个椭球体。而古代有“天圆地方”之说，认为地是方的，这是人们亲眼看到的世界，从这方面看，这个世界确实是方的。所以，不要轻易相信你眼睛所看到的世界，它有可能是假的。
扯远了，拉回来。那么到底地球是什么形状的呢？下面从科学的角度加以介绍。

图 1  地球椭球体
真实的地球近似一个球体，其自然表面是一个极其复杂而又不规则的曲面，有高山、丘陵、平地、凹地和海洋。在大陆上，最高点珠穆朗玛峰高出海面8848.13米，在海洋中，最深点为-11022米的马里亚纳海沟，二者高差近两万米。由于地球表面是不规则的，它不可能用数学公式来表达，也就无法实施运算。必须以近似方法来代替它。
所以在量测与制图时，必须找一个规则的曲面来代替地球的自然表面。当海洋静止时，它的自由水面必定与该面上各点的重力方向（铅垂线方向）成正交，我们把这个面叫做水准面。但水准面有无数多个，其中有一个与静止的平均海水面相重合。可以设想这个静止的平均海水面穿过大陆和岛屿形成一个闭合的曲面，这就是大地水准面，又名大地基准面（Datum）。

图 2  大地水准面
大地水准面所包围的形体，叫大地球体。由于地球体内部质量分布的不均匀，引起重力方向的变化，导致处处和重力方向成正交的大地水准面成为一个不规则的，仍然是不能用数学表达的曲面。大地水准面形状虽然十分复杂，但从整体来看，起伏是微小的。
简言之，以椭圆的短轴为旋转轴的椭球面来代替地球的形状称之为地球椭球面，其形体称之为地球椭球体。地球椭球面是一个纯数学表面，可以用简单的数学公式表达。
1.1.2 椭球元素
地球椭球的形状和大小常用下列符号表示：
长半轴a（赤道半径）、短半轴b（极轴半径）、扁率f、第一偏心率e和第二偏心率e’。
数学表达式如下：
扁率         
第一偏心率         
第二偏心率         
决定椭球的大小，只要知道2个元素就够了，但其中必须有一个是长度（a或b）。
椭球元素之间还有如下关系：
； ； 。
1.1.3 地球参考椭球
关于地球椭球体的大小，由于采用不同的资料推算，椭球体的元素值是不同的。现将世界各国常用的地球椭球体的数据列表如下：
表 1  各种地球椭球体模型
椭球体名称        年代        长半轴（米）        短半轴（米）        扁率
白塞尔(Bessel)        1841        6377397        6356079        1：299.15
克拉克(Clarke)        1880        6378249        6356515        1：293.5
克拉克(Clarke)        1866        6378206        6356584        1：295.0
海福特(Hayford)        1910        6378388        6356912        1：297
克拉索夫斯基(Krassovsky)        1940        6378245        6356863        1：298.3
1967年大地坐标系（GRS-1967）        1967        6378160        6356775        1：298.25
1975年大地坐标系（GRS-1975）        1975        6378140        6356755        1：298.26
游存义(中国)        1978        6378143        6356758        1：298.26
1980年大地坐标系（GRS-1980）        1979        6378137        6356752        1：298.26
1983年大地坐标系（GRS-1983）        1983        6378136        6356751.5        1：298.26

我国在1952年以前采用海福特椭球，1953年至1980年采用克拉索夫斯基椭球，自1980年开始采用GRS-1975（1975年大地坐标系）作为新参考椭球体系。由于地球椭球长半径与短半径的差值很小，所以当制作小比例尺地图时，往往把它当作球体看待，这个球体的半径为6371公里。
1.1.4 大地基准面（Datum）
坐标系中常会见到“Datum”这个词，就是大地基准面。
椭球体与大地基准面之间的关系是一对多的关系，也就是基准面是在椭球体基础上建立的，但椭球体不能代表基准面，同样的椭球体能定义不同的基准面，如前苏联的Pulkovo 1942、非洲索马里的Afgooye基准面都采用了Krassovsky椭球体，但它们的大地基准面显然是不同的。在目前的GIS商用软件中，大地基准面都通过当地基准面向WGS84的转换7参数来定义，即三个平移参数ΔX、ΔY、ΔZ表示两坐标原点的平移值；三个旋转参数εx、εy、εz表示当地坐标系旋转至与地心坐标系平行时，分别绕Xt、Yt、Zt的旋转角；最后是比例校正因子，用于调整椭球大小。
国际上常用WGS84大地基准面，我国先后使用的是北京54大地基准面和西安80大地基准面。
1.1.5 高程
地面点到大地水准面的高程，称为绝对高程。如图2所示，P0P0'为大地水准面，地面点A 和B 到P0P0'的垂直距离HA和HB为A、B 两点的绝对高程。地面点到任一水准面的高程，称为相对高程。如图2 中，A、B 两点至任一水准面P1P1'的垂直距离HA'和HB'为A、B 两点的相对高程。

图 3  地面点的高程
1.1.6 我国的大地控制网
我国面积辽阔，在约960万平方公里的土地上进行测图工作，需要分成若干单元测区，而且测量的精度又要符合统一要求，为此，在全国范围内建立统一的大地控制网。控制网分为平面控制网和高程控制网。
大地坐标：在地面上建立一系列相连接的三角形，量取一段精确的距离作为起算边，在这个边的两端点，采用天文观测的方法确定其点位（经度、纬度和方位角），用精密测角仪器测定各三角形的角值，根据起算边的边长和点位，就可以推算出其他各点的坐标。这样推算出的坐标，称为大地坐标。
我国1954 年在北京设立了大地坐标原点，由此计算出来的各大地控制点的坐标，称为1954年北京坐标系。我国1986年宣布在陕西省泾阳县设立了新的大地坐标原点，并采用1975年国际大地测量协会推荐的大地参考椭球体，由此计算出来的各大地控制点坐标，称为1980年大地坐标系。
我国高程的起算面是黄海平均海水面。1956 年在青岛设立了水准原点，其他各控制点的绝对高程都是根据青岛水准原点推算的，称此为1956年黄海高程系。1987 年国家测绘局公布：中国的高程基准面启用《1985国家高程基准》取代国务院1959年批准启用的《黄海平均海水面》。《1985国家高程基准》比《黄海平均海水面》上升29毫米。
1.2 坐标系（Coordinate System）
所谓坐标系，包含两方面的内容：一是在把大地水准面上的测量成果化算到椭球体面上的计算工作中，所采用的椭球的大小；二是椭球体与大地水准面的相关位置不同，对同一点的地理坐标所计算的结果将有不同的值。因此，选定了一个一定大小的椭球体，并确定了它与大地水准面的相关位置，就确定了一个坐标系。
1.2.1 地理坐标系（Geographic Coordinate System）
地球除了绕太阳公转外，还绕着自己的轴线旋转，地球自转轴线与地球椭球体的短轴相重合，并与地面相交于两点，这两点就是地球的两极：北极和南极。垂直于地轴，并通过地心的平面叫赤道平面，赤道平面与地球表面相交的大圆圈（交线）叫赤道。平行于赤道的各个圆圈叫纬圈（纬线）（Parallel），显然赤道是最大的一个纬圈。
通过地轴垂直于赤道面的平面叫做经面或子午圈（Meridian），所有的子午圈长度彼此都相等。
1.2.1.1 纬度（Latitude）
设椭球面上有一点P，通过P点作椭球面的垂线，称之为过P点的法线。法线与赤道面的交角，叫做P点的地理纬度（简称纬度），通常以字母φ或B表示。纬度从赤道起算，在赤道上纬度为0度，纬线离赤道愈远，纬度愈大，至极点纬度为90度。赤道以北叫北纬、以南叫南纬。

图 4  地球的经线和纬线
1.2.1.2 经度（Longitude）
过P点的子午面与通过英国格林尼治天文台的子午面所夹的二面角，叫做P点的地理经度（简称经度），通常用字母λ或L表示。国际规定通过英国格林尼治天文台的子午线为本初子午线（或叫首子午线），作为计算经度的起点，该线的经度为0度，向东0-180度叫东经，向西0-180度叫西经。
1.2.1.3 地面上点位的确定
地面上任一点的位置，通常用经度和纬度来决定。经线和纬线是地球表面上两组正交（相交为90度）的曲线，这两组正交的曲线构成的坐标，称为地理坐标系。地表面某两点经度值之差称为经差，某两点纬度值之差称为纬差。例如北京在地球上的位置可由北纬39°56'和东经116°24'来确定。
1.2.2 平面上的坐标系
地理坐标是一种球面坐标。由于地球表面是不可展开的曲面，也就是说曲面上的各点不能直接表示在平面上，因此必须运用地图投影的方法，建立地球表面和平面上点的函数关系，使地球表面上任一点由地理坐标（φ、λ）确定的点，在平面上必有一个与它相对应的点，平面上任一点的位置可以用极坐标或直角坐标表示。
1.2.2.1 平面直角坐标系的建立
在平面上选一点O为直角坐标原点，过该点O作相互垂直的两轴X’OX和Y’OY而建立平面直角坐标系，如图 5所示。
直角坐标系中，规定OX、OY 方向为正值，OX、OY 方向为负值，因此在坐标系中的一个已知点P，它的位置便可由该点对OX 与OY 轴的垂线长度唯一地确定，即x=AP，y=BP，通常记为P(x，y)。
1.2.2.2 平面极坐标系（Polar Coordinate）的建立

图 5  平面直角坐标系和极坐标系
如图 5所示，设O’为极坐标原点，O’O 为极轴，P 是坐标系中的一个点，则O’P 称为极距，用符号ρ表示，即ρ=O’P。∠OO’P 为极角，用符号δ表示，则∠OO’P=δ。极角δ由极轴起算，按逆时针方向为正，顺时针方向为负。
极坐标与平面直角坐标之间可建立一定的关系式。由图 5可知，直角坐标的x 轴与极轴重合，二坐标系原点间距离OO’用Q 表示，则有：
X=Q–ρcosδ
Y=ρsinδ
1.2.3 WGS-84坐标系
为了描述卫星运动，处理观测数据和表示测站位置，需要建立与之相应的坐标系统。在GPS测量中，通常采用两种坐标系统，即协议天球坐标系和协议地球坐标系。
其中协议地球坐标系采用的是1984年世界大地坐标系（Word Geodetic System 1984，即WGS-84）。WGS-84坐标系是美国国防部研制确定的大地坐标系，是一种协议地球坐标系。WGS-84坐标系的定义是：原点是地球的质心，空间直角坐标系的Z轴指向BIH（1984.0）定义的地极（CTP）方向，即国际协议原点CIO，它由IAU和IUGG共同推荐。X轴指向BIH定义的零度子午面和CTP赤道的交点，Y轴和Z，X轴构成右手坐标系。
WGS-84椭球采用国际大地测量与地球物理联合会第17届大会测量常数推荐值，采用的两个常用基本几何参数：
长半轴a=6378137m；扁率f=1:298.257223563。
我国先后使用的是北京54坐标系和西安80坐标系。
1.3 地图投影（Map Projection）
1.3.1 地图投影的概念
在数学中，投影（Projection）的含义是指建立两个点集间一一对应的映射关系。同样，在地图学中，地图投影就是指建立地球表面上的点与投影平面上点之间的一一对应关系。地图投影的基本问题就是利用一定的数学法则把地球表面上的经纬线网表示到平面上。凡是地理信息系统就必然要考虑到地图投影，地图投影的使用保证了空间信息在地域上的联系和完整性，在各类地理信息系统的建立过程中，选择适当的地图投影系统是首先要考虑的问题。由于地球椭球体表面是曲面，而地图通常是要绘制在平面图纸上，因此制图时首先要把曲面展为平面，然而球面是个不可展的曲面，即把它直接展为平面时，不可能不发生破裂或褶皱。若用这种具有破裂或褶皱的平面绘制地图，显然是不实际的，所以必须采用特殊的方法将曲面展开，使其成为没有破裂或褶皱的平面。
地图投影的实质，是建立地球表面与投影平面上点的一一对应关系：
，如下图所示：

图 6  地图投影示意图
1.3.2 地图投影的分类
关于地图投影的分类，简单介绍如下，如想详细了解，请查阅相关参考书。
按变形性质地图投影可以分为三类：等角投影、等积投影和任意投影。
按照构成方法，可以把地图投影分为两大类：几何投影和非几何投影。几何投影又分为方位投影、圆柱投影和圆锥投影；非几何投影又分为伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影和多圆锥投影。
按照投影面与地球相割或相切，分为割投影和切投影。
实际中使用的地图投影是上述几类的综合。
2 常用地图投影介绍
移动通信经常会使用数字地图（电子地图），数字地图常用投影为高斯-克吕格投影和UTM投影，下面分别介绍。
2.1 高斯-克吕格投影
高斯-克吕格（Gauss-Kruger）投影简称“高斯投影”，又名“等角横轴切椭圆柱投影”，地球椭球面和平面间正形投影的一种。德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857-1928）于1912年对投影公式加以补充，故名。在英美国家称为横轴墨卡托投影。
该投影按照投影带中央子午线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，确定函数的形式，从而得到高斯-克吕格投影公式。投影后，除中央子午线和赤道为直线外，其他子午线均为对称于中央子午线的曲线。设想用一个椭圆柱横切于椭球面上投影带的中央子午线，按上述投影条件，将中央子午线两侧一定经差范围内的椭球面正形投影于椭圆柱面。将椭圆柱面沿过南北极的母线剪开展平，即为高斯投影平面。取中央子午线与赤道交点的投影为原点，中央子午线的投影为纵坐标x轴，赤道的投影为横坐标y轴，构成高斯-克吕格平面直角坐标系。

图 7  高斯-克吕格投影示意图
高斯-克吕格投影在长度和面积上变形很小，中央经线无变形，自中央经线向投影带边缘，变形逐渐增加，变形最大之处在投影带内赤道的两端。
为了保证地图的精度，采用分带投影方法，即将投影范围的东西界加以限制，使其变形不超过一定的限度，这样把许多带结合起来，可成为整个区域的投影。高斯-克吕格投影的变形特征是：在同一条经线上，长度变形随纬度的降低而增大，在赤道处为最大；在同一条纬线上，长度变形随经差的增加而增大，且增大速度较快。在6度带范围内，长度最大变形不超过0.14%。
6度带是从0度子午线起，自西向东每隔经差6为一投影带，全球分为60 带，各带的带号用自然序数1，2，3，…60表示。即以东经0-6为第1带，其中央经线为3E，东经6-12为第2 带，其中央经线为9E，其余类推。
3度带，是从东经1 度30 分的经线开始，每隔3 度为一带，全球划分为120个投影带。
下图表示出6 度带与3度带的中央经线与带号的关系。

图 8  高斯-克吕格投影的分带
在高斯-克吕格投影上，规定以中央经线为X 轴，赤道为Y 轴，两轴的交点为坐标原点。X 坐标值在赤道以北为正，以南为负；Y 坐标值在中央经线以东为正，以西为负。我国在北半球，X 坐标皆为正值。Y 坐标在中央经线以西为负值，运用起来很不方便。为了避免Y 坐标出现负值，将各带的坐标纵轴西移500公里，即将所有Y 值都加500 公里。由于采用了分带方法，各带的投影完全相同，某一坐标值（x，y），在每一投影带中均有一个，在全球则有60 个同样的坐标值，不能确切表示该点的位置。因此，在Y 值前，需冠以带号，这样的坐标称为通用坐标。
高斯克吕格投影各带是按相同经差划分的，只要计算出一带各点的坐标，其余各带都是适用的。这个投影的坐标值由国家测绘部门根据地形图比例尺系列，事先计算制成坐标表，供作业单位使用。
2.2 UTM投影
UTM投影全称为“通用横轴墨卡托投影（Universal Transverse Mercator Projection）”，是等角横轴割椭圆柱投影（高斯-克吕格为等角横轴切椭圆柱投影），椭圆柱割地球于南纬80度、北纬84度两条等高圈，该投影将地球划分为60个投影带，每带经差为6度，已被许多国家作为地形图的数学基础。
UTM投影是高斯投影的一种变形，与高斯投影差别较小。UTM投影与高斯投影的主要区别在南北格网线的比例系数上，高斯-克吕格投影的中央经线投影后保持长度不变，即比例系数（Scale Factor）为1，而UTM投影的比例系数为0.9996。UTM投影沿每一条南北格网线比例系数为常数，在东西方向则为变数，中心格网线的比例系数为0.9996，在南北纵行最宽部分的边缘上距离中心点大约363公里，比例系数为1.00158。UTM投影是为了全球战争需要创建的，美国于1948年完成这种通用投影系统的计算。与高斯-克吕格投影相似，该投影角度没有变形，中央经线为直线，且为投影的对称轴，中央经线的比例因子取0.9996是为了保证离中央经线左右约330km处有两条不失真的标准经线。
从分带方式看，两者的分带起点不同，高斯-克吕格投影自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经度为3°；UTM投影自西经180°起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经度为-177°，因此高斯-克吕格投影的第1带是UTM的第31带。此外，两投影的东伪偏移（False Easting）都是500公里，高斯-克吕格投影北伪偏移（False Northing）为零，UTM北半球投影北伪偏移为零，南半球则为10000公里。这些分带和伪偏移参数都体现在具体的投影文件中。
UTM投影分带方法与高斯-克吕格投影相似，是自西经180°起每隔经差6度自西向东分带，将地球划分为60个投影带。下图为常用的网上免费数字地图下载网站，精度为500米，可见各地被分为很多投影带，可以针对性下载所需数字地图。

图 9  UTM投影数字地图下载网站
3 常用投影转换公式
注：本章投影转换公式主要摘自文档《常用地图投影转换公式》（作者：青岛海洋地质研究所 戴勤奋），该文所列投影转换公式主要参考POSC（http://www.posc.org/，国际石油技术软件开放公司）的文献“Coordinate Conversions and Transformation including Formulas”，该文献由EPSG（http://www.epsg.org/,欧洲石油勘探组）编写，比较全面地介绍了各种地图投影与坐标系的转换方法及计算公式。
本文所列投影计算公式仅供参考。
3.1 地图投影转换的含义
地图投影转换的含义：将地理坐标（即大地坐标，经纬度）转换为平面直角坐标（单位：米）的过程，其公式为正解公式；反过来，将平面直角坐标（单位：米）转换为地理坐标（即大地坐标，经纬度）的过程，其公式为反解公式。
3.2 投影转换公式约定
本文中所列的转换公式都基于椭球体。
a -- 椭球体长半轴
b -- 椭球体短半轴
f -- 扁率  
e -- 第一偏心率  
e’ -- 第二偏心率  
N --卯酉圈曲率半径  
R -- 子午圈曲率半径  
B -- 纬度，L -- 经度，单位为弧度（RAD）
  -- 纵直角坐标,   -- 横直角坐标，单位米（m）。
3.3 椭球体和大地基准面
高斯-克吕格投影常使用椭球体Krassovsky-1940，大地基准面（Datum）常使用WGS84。
UTM投影常使用椭球体GRS-1980（1980年大地坐标系），大地基准面常使用WGS84。
3.4 高斯-克吕格投影常用转换公式
注：CNS中的高斯投影正解公式与本文所列基本一致，反解公式未知。
3.4.1 高斯-克吕格投影正解公式
（B,L）→（X,Y），原点纬度0，中央经度L0。



上面公式中东伪偏移FE = 500000米 + 带号 * 1000000；
高斯-克吕格投影比例因子k0 = 1。
3.4.2 高斯-克吕格投影反解公式
（X,Y）→（B,L），原点纬度0，中央经度L0。


3.5 UTM投影常用转换公式
注：CNS中的UTM投影正解公式与本文所列不同，反解公式未知。
3.5.1 UTM投影正解公式
（B,L）→（X,Y），原点纬度0，中央经度L0。

上面公式中东伪偏移 FE= 500000米 ；北伪偏移 FN北半球= 0，FN南半球= 10000000米；
UTM投影比例因子k0 = 0.9996，其它参数同高斯-克吕格投影正解公式。
3.5.2 UTM投影反解公式
（X,Y）→（B,L），原点纬度0，中央经度L0。

式中参数同高斯-克吕格投影反解公式。
4 常用规划软件地图投影简介
4.1 数字地图中的投影文件
移动通信常用Planet格式的数字地图，其中包含一个投影文件“projection”，一般是UTM投影或高斯-克吕格投影。
UTM投影文件内容通常如下所示：

高斯-克吕格投影文件内容如下所示：

各行信息含义如下：
第一行：参考椭球，分别是GRS-1980（即1980年大地坐标系）和Krasovsky-1940；
第二行：投影带号；
第三行：投影类型；
最后一行：投影参数，分别是原点纬度（Origin Latitude）0度，原点经度（Origin Longitude）117度，北伪偏移FN（False Easting）0米，东伪偏移FE（False Easting）500公里，最后的0表示北半球N，若是南半球S则为10000000。对于FE，高斯-克吕格投影通常还会在前面加上带号，即20500000。
根据上述信息，在选择投影时就应当分别选择“UTM Zone 50N”或“GK Zone 20”。
4.2 MapInfo中的地图投影文件
MapInfo中的地图投影文件为MAPINFOW.PRJ，在MapInfo安装目录中可找到此文件，并可编辑，例如可手动加入我们中国常用的地图投影信息（高斯投影北京54坐标系和西安80坐标系）。其中的Gauss-Kruger投影文件信息片断如下：
"--- Gauss-Kruger (Pulkovo 1942) ---"
"GK Zone 1 (Pulkovo 1942)", 8, 1001, 7, 3, 0, 1, 1500000, 0
"GK Zone 2 (Pulkovo 1942)", 8, 1001, 7, 9, 0, 1, 2500000, 0
"GK Zone 3 (Pulkovo 1942)", 8, 1001, 7, 15, 0, 1, 3500000, 0